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1.前言 著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō):“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”.人類的實(shí)踐也已證明數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的共同“語(yǔ)言”，是學(xué)習(xí)所有自然科學(xué)的“鑰匙”，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)更是成為衡量一個(gè)國(guó)家科技水平的重要標(biāo)志.獨(dú)立學(xué)院文、理科線性代數(shù)課程是培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才的重要的必修課，我們編寫(xiě)該課程教材的立足點(diǎn)就是基礎(chǔ)與應(yīng)用并重，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為根本目標(biāo). 在基礎(chǔ)與應(yīng)用并重的思想指導(dǎo)下，我們編寫(xiě)了線性代數(shù)課程的教學(xué)大綱，設(shè)計(jì)了課時(shí)安排，教材編寫(xiě)與教學(xué)實(shí)踐密切結(jié)合，并多次修改力求完善.在編寫(xiě)過(guò)程中,我們努力做到: (1)
在深度和廣度上符合教育部審定的“高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程教學(xué)基本要求”,并參照教育部考試中心頒發(fā)的《全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱》數(shù)學(xué)一與數(shù)學(xué)三中線性代數(shù)的知識(shí)范圍.在獨(dú)立學(xué)院中,有不少學(xué)生是因?yàn)楦呖及l(fā)揮失常而沒(méi)有考上理想的高校，進(jìn)入獨(dú)立學(xué)院后,他們發(fā)奮努力，立志考研.我們編寫(xiě)教材時(shí),在廣度上盡可能達(dá)到考研的知識(shí)范圍. (2)
注重?cái)?shù)學(xué)的思想和方法,適當(dāng)?shù)貪B透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用部分近代數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)與符號(hào)，以求符合獨(dú)立學(xué)院培養(yǎng)高素質(zhì)的具有創(chuàng)新精神的應(yīng)用型人才的目標(biāo).教材除了要使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法,還要讓學(xué)生受到一定的科學(xué)訓(xùn)練,學(xué)到數(shù)學(xué)思想方法,為其學(xué)習(xí)后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并為其畢業(yè)后勝任工作或繼續(xù)深造積累潛在的能力. (3) 通過(guò)教學(xué)研究,將一些經(jīng)典定理、公式的結(jié)論或證明加以更新與優(yōu)化.如此，既改革了教學(xué)內(nèi)容,又豐富了線性代數(shù)的內(nèi)涵. 我們的目標(biāo)是全書(shū)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),難易適度,語(yǔ)言簡(jiǎn)潔,既適合培養(yǎng)目標(biāo),又貼近教學(xué)實(shí)際,便于教與學(xué). 本書(shū)包含行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值問(wèn)題、歐氏空間、二次型、線性空間與線性變換簡(jiǎn)介等八章.對(duì)數(shù)學(xué)要求較高的理工類、經(jīng)管類專業(yè),如電子、電氣、計(jì)算機(jī)、經(jīng)管、金融等，本書(shū)可用一個(gè)學(xué)期講授,每周4學(xué)時(shí)；其他專業(yè)，如土木、地質(zhì)、化工等，可依實(shí)際安排的學(xué)時(shí)數(shù)選講線性代數(shù)的基本內(nèi)容(如略去基變換與坐標(biāo)變換、二次型等).本書(shū)在附錄部分提供了線性代數(shù)課程的教學(xué)課時(shí)安排建議，供授課老師參考. 書(shū)中用*標(biāo)出的部分為較難內(nèi)容，供任課教師選用(一般留給學(xué)生課外自學(xué)).書(shū)中習(xí)題分A,B兩組，A組為基本要求，B組為較高要求；除第8章外，每一章末有復(fù)習(xí)題,供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí).書(shū)末附有習(xí)題答案與提示. 本書(shū)由陳仲、王培、林小圍編著,陳仲寫(xiě)第1,4,8章,王培寫(xiě)第3,5,6章,林小圍寫(xiě)第2,7章. 感謝金陵學(xué)院教務(wù)處和基礎(chǔ)教學(xué)部對(duì)編者的關(guān)心,感謝錢鐘教授、王均義教授、黃衛(wèi)華教授和王建民主任對(duì)編者的支持,感謝范克新、鄧建平、袁明霞、馬榮、章麗霞、魏云峰、邵寶剛等老師使用本書(shū)講授線性代數(shù)課程，并給編者提供寶貴的修改建議.感謝東南大學(xué)出版社吉雄飛編輯的認(rèn)真負(fù)責(zé)和悉心編校，使本書(shū)質(zhì)量大有提高. 書(shū)中不足與錯(cuò)誤難免,敬請(qǐng)智者不吝賜教. 陳仲 2018年1月于南京大學(xué) 2.目錄 1行列式1 1.1行列式基本概念1 1.1.1n階行列式的定義1 1.1.2行列式的性質(zhì)5 習(xí)題1.19 1.2行列式的計(jì)算9 1.2.1拉普拉斯展開(kāi)定理9 1.2.2行列式計(jì)算舉例10 習(xí)題1.215 復(fù)習(xí)題117 2矩陣18 2.1矩陣基本概念18 2.1.1矩陣的定義18 2.1.2常用的特殊矩陣18 2.1.3矩陣的線性運(yùn)算20 2.1.4矩陣的乘法21 2.1.5分塊矩陣24 習(xí)題2.129 2.2初等變換與初等矩陣30 2.2.1矩陣的初等變換30 2.2.2矩陣的階梯形31 2.2.3初等矩陣33 2.2.4初等變換與初等矩陣的聯(lián)系34 2.2.5矩陣的行列式35 習(xí)題2.237 2.3逆矩陣39 2.3.1可逆矩陣與逆矩陣39 2.3.2克萊姆法則44 2.3.3用初等行變換求逆矩陣與方程組的唯一解46 習(xí)題2.349 復(fù)習(xí)題250 3向量空間52 3.1向量空間基本概念52 3.1.1向量空間的定義52 3.1.2子空間53 習(xí)題3.153 3.2向量組的線性相關(guān)性54 3.2.1向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義54 3.2.2線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量組的性質(zhì)57 習(xí)題3.260 3.3向量組的秩61 3.3.1向量組的極大無(wú)關(guān)組61 3.3.2向量組的等價(jià)64 3.3.3向量組秩的定義與性質(zhì)66 習(xí)題3.367 3.4矩陣的秩68 3.4.1矩陣秩的定義68 3.4.2用初等行變換求矩陣的秩69 3.4.3矩陣的行秩與列秩70 3.4.4矩陣的和秩71 3.4.5矩陣的積秩71 習(xí)題3.473 3.5向量空間的基·基變換·坐標(biāo)變換75 3.5.1向量空間的基與維數(shù)75 3.5.2向量的坐標(biāo)76 3.5.3基變換與坐標(biāo)變換77 3.5.4用初等行變換求過(guò)渡矩陣與向量的坐標(biāo)78 習(xí)題3.580 復(fù)習(xí)題381 4線性方程組82 4.1線性方程組解的屬性82 4.1.1線性方程組的初等變換82 4.1.2線性方程組解的性質(zhì)83 4.1.3線性齊次方程組解的屬性83 4.1.4線性非齊次方程組解的屬性85 習(xí)題4.188 4.2線性方程組的通解90 4.2.1線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系90 4.2.2線性齊次方程組的通解91 4.2.3線性非齊次方程組的通解94 習(xí)題4.299 復(fù)習(xí)題4101 5特征值問(wèn)題103 5.1特征值與特征向量103 5.1.1特征值與特征向量的定義103 5.1.2特征值與特征向量的求法103 5.1.3特征值與特征向量的性質(zhì)107 習(xí)題5.1111 5.2矩陣的相似對(duì)角化113 5.2.1相似矩陣113 5.2.2矩陣相似對(duì)角化的定義114 5.2.3矩陣可相似對(duì)角化的條件114 5.2.4矩陣相似對(duì)角化的步驟117 習(xí)題5.2122 復(fù)習(xí)題5123 6歐氏空間124 6.1歐氏空間基本概念124 6.1.1向量的內(nèi)積124 6.1.2歐氏空間與度量矩陣124 6.1.3向量的模與兩向量的夾角127 習(xí)題6.1130 6.2正交矩陣130 6.2.1正交矩陣基本概念130 6.2.2施密特正交規(guī)范化方法132 習(xí)題6.2136 6.3矩陣的正交相似對(duì)角化137 6.3.1矩陣正交相似對(duì)角化的定義137 6.3.2實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量137 6.3.3實(shí)對(duì)稱矩陣可正交相似對(duì)角化138 6.3.4實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的步驟139 習(xí)題6.3142 復(fù)習(xí)題6143 7二次型144 7.1二次型基本概念144 7.1.1二次型的矩陣表示144 7.1.2二次型的等價(jià)146 習(xí)題7.1146 7.2矩陣的合同對(duì)角化147 7.2.1合同矩陣147 7.2.2矩陣合同對(duì)角化的定義148 7.2.3對(duì)稱矩陣可合同對(duì)角化148 *7.2.4用初等變換將對(duì)稱矩陣合同對(duì)角化150 7.2.5矩陣正交合同對(duì)角化的定義151 7.2.6實(shí)對(duì)稱矩陣可正交合同對(duì)角化151 習(xí)題7.2152 7.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)形152 7.3.1二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形152 7.3.2通過(guò)配方化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形156 7.3.3通過(guò)正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形157 *7.3.4通過(guò)初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形159 7.3.5慣性定理160 7.3.6二次曲面類型的判別162 習(xí)題7.3162 7.4正定二次型與正定矩陣164 7.4.1二次型的分類164 7.4.2正定二次型與正定矩陣的判別法164 習(xí)題7.4168 復(fù)習(xí)題7169 *8線性空間與線性變換簡(jiǎn)介170 8.1線性空間的基本概念170 8.1.1線性空間的例子170 8.1.2線性空間的同構(gòu)171 習(xí)題8.1174 8.2線性變換的基本概念174 8.2.1線性變換的定義174 8.2.2線性變換的像與核175 8.2.3線性變換在基下的矩陣177 8.2.4線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系180 習(xí)題8.2182 習(xí)題答案與提示184 附錄《線性代數(shù)》教學(xué)課時(shí)安排建議210 |
精品新書(shū)
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