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寫在全書之前想說的話

本書的寫作純屬偶然。我從2012年開始面對本科生開設(shè)量子計算的新生研討課，旨在科普量子計算與量子信息的知識，傳播、普及計算機科學(xué)發(fā)展的新領(lǐng)域、新知識和新思維。課程安排了4個系列的科普講座：量子計算機雜談、量子安全通信雜談、量子可逆邏輯電路設(shè)計雜談、量子容錯計算雜談。除了量子計算機雜談的內(nèi)容以外，其余三個雜談的內(nèi)容都包含在我們研究室2004年以來主要的學(xué)習(xí)和研究內(nèi)容之中。

開設(shè)這門新生研討課的初衷，一是給新生科普計算機科學(xué)技術(shù)發(fā)展的前沿，通過介紹量子、量子比特、量子信息、量子計算、量子通信、量子計算機的入門常識，以此打開學(xué)生們關(guān)注量子科技、量子計算機發(fā)展的新視野，點燃他們對量子科技的興趣，并使他們具備閱讀量子科技相關(guān)科普文獻的基本能力；二是那個年頭“計算思維”的熱潮似乎正裹挾著整個計算機學(xué)界，我無法脫俗，我潛意識地期待在教學(xué)過程中實踐培養(yǎng)“計算思維”的一種教學(xué)模式。就是想把量子計算的思維、方法和相關(guān)理論的基本內(nèi)容通過課程告訴學(xué)生，期待影響他們今后在軟件設(shè)計或算法構(gòu)建中的思維。教學(xué)實踐后我親身體會或了解到，第一個想法基本可以實現(xiàn)，因為從課堂的研討和課后的作業(yè)中可以感覺到大多數(shù)選課的新生通過短短的32個學(xué)時的學(xué)習(xí)和討論，對量子計算與量子信息會萌發(fā)出興趣，至少他們在課程學(xué)習(xí)結(jié)束后會比一般的學(xué)生更加關(guān)注量子信息科技的新進展，從他們口中說出的關(guān)于某些科普新聞報道的評論更加科學(xué)或靠譜、用詞也更加準(zhǔn)確了。但第二個目標(biāo)是我的心太大了，原因當(dāng)然在于我。我是半路出家做了一點量子信息和量子計算相關(guān)的基礎(chǔ)研究，實踐閱歷不足，沒有功底和能力將量子信息與量子計算理論背后的、計算機專業(yè)需要的思維和方法很好地凝練出來，然后通過課程樸素地告訴學(xué)生。但我又想，我雖然笨拙，卻已通過授課將這粒有益的種子播在了一些學(xué)生的思維里，我期待著這粒種子會在今后某一恰當(dāng)?shù)臅r候突然發(fā)芽、開花、結(jié)出可口的果子。

課程開設(shè)之初，因為課程內(nèi)容是基于“量子”討論信息和計算的內(nèi)容，不在我們的宏觀現(xiàn)實和宏觀思維之中，現(xiàn)實中除去專業(yè)從事相關(guān)領(lǐng)域研究的人，我們從小到大幾乎都未接受過相關(guān)教育，哪怕是科普教育，因此當(dāng)課程掛上選課網(wǎng)，選課的學(xué)生因為課程名中出現(xiàn)“量子”會感到或陌生或畏懼而拒絕，也有少數(shù)學(xué)生會因為或陌生或好奇，想了解、想學(xué)習(xí)。其實學(xué)生們和我一樣，我是半路出家，我能夠理解。因此我會在每一輪、每一次的講稿和PPT中更新內(nèi)容，將相關(guān)的最新的國內(nèi)外各種新聞媒體的文字、圖片和視頻報道融入到授課中去，想與時俱進地主動講好這4個講座中的每一個故事。

在量子可逆邏輯電路設(shè)計雜談的講座中，想通過量子可逆邏輯電路設(shè)計中一個非常簡單的、但學(xué)生們卻從未見過的物理問題（已知邏輯函數(shù)的值求解邏輯電路），啟發(fā)學(xué)生運用一些簡單數(shù)學(xué)方法解決問題，讓學(xué)生親身感受到什么是現(xiàn)實問題、什么是數(shù)學(xué)模型，親身觸摸到“物理模型-數(shù)學(xué)模型-解決方案”間的關(guān)系，在學(xué)生的思維里種下這粒種子，并讓學(xué)生們意識到數(shù)學(xué)的普適性意義。在教學(xué)中，通過課堂互動和學(xué)生研討的環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)可以較快地掌握一些基本概念并能夠大致理解問題（已知邏輯函數(shù)的值求解邏輯電路），了解把問題的物理模型抽象成邏輯門輸入/輸出數(shù)值間的數(shù)字問題，通過選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（真值表、矩陣與代數(shù)演算、置換等）講解，再把數(shù)字問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，然后建立問題求解的數(shù)學(xué)模型，再基于數(shù)學(xué)工具的運算規(guī)則加工數(shù)字，最終達成問題的解決方案，最后將解決方案的文字與計算公式轉(zhuǎn)換成算法。一般的學(xué)生此時能夠完成問題求解的代數(shù)計算，條件好的學(xué)生能夠進一步給出采用基本方法的程序設(shè)計結(jié)果。對于條件更好的學(xué)生進一步推薦“解決方案-算法設(shè)計-程序?qū)崿F(xiàn)”的實踐環(huán)節(jié)，活用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與程序設(shè)計中的技巧，真正體會科學(xué)計算程序設(shè)計的樂趣。因為有這樣的教學(xué)活動體會，我確實曾經(jīng)想過把相關(guān)內(nèi)容以數(shù)學(xué)建模為主線歸納小結(jié)成講義。

說到本書的寫作純屬偶然，其實還受到一件事的觸發(fā)。某一日同學(xué)聚會，有同學(xué)問我有沒有適合數(shù)學(xué)建模程序競賽題目的建議，此時我的頭腦中真的突然閃現(xiàn)這個想法：量子可逆邏輯電路綜合可以成為一個好的命題內(nèi)容，還可以作為程序設(shè)計語言課程設(shè)計的選題之一。首先命題者如若善于表達，量子可逆邏輯電路綜合的問題是易于表述且目標(biāo)明確的，問題本身有助于數(shù)學(xué)建模與代數(shù)優(yōu)化，程序?qū)崿F(xiàn)時能夠采用多種程序設(shè)計和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的技巧達到提高自動生成邏輯電路的效率。再者就是3量子可逆邏輯電路有開放的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，4量子可逆邏輯電路全體的綜合依然是一個技術(shù)上的開放問題，因此無論是競賽還是課程設(shè)計的結(jié)果都可以得到公平、公正和是否創(chuàng)新的評判。原本想寫，有一些積累，遇上這一件事觸發(fā)，于是就寫出了這本書。

新興學(xué)科量子信息論與量子計算理論的基礎(chǔ)是量子力學(xué)原理，本書的撰寫過程中涉及一些量子信息和量子計算的概念及其表達方法，又因我們的教育和研究背景是計算機科學(xué)與應(yīng)用，加之編寫的動因突發(fā)，且希望一氣呵成，時間倉促、修養(yǎng)不足，因此本書難免有疏漏和不當(dāng)之處，敬請讀者批評指正。

回頭看，成就本書的編撰，要感謝我的多位博士研究生:李志強、肖芳英、李文騫、王冬,以及萬四爽、安博、楊忠明等碩士，感謝他（她）們早期的多年努力的結(jié)果，特別是李志強為本書編撰提供了大量翔實的材料，以及基于Hash函數(shù)的3量子全部40320個可逆邏輯電路的計算結(jié)果。同時感謝談佳寧博士為全書提供規(guī)范的全部可逆邏輯電路圖。

陳漢武2017年3月31日

量子可逆邏輯的研究源于可逆計算機的研究。20世紀(jì)中葉，人們發(fā)現(xiàn)集成電路芯片的能耗導(dǎo)致計算機系統(tǒng)發(fā)熱，既限制了芯片集成度，又影響到計算機的運行速度。IBM的科學(xué)家R.Landaue指出，集成電路芯片的能耗主要源于芯片中門電路的信號演算不可逆操作。因此，降低芯片能耗、抑制發(fā)熱的關(guān)鍵是將不可逆操作變?yōu)榭赡娌僮?。在信息領(lǐng)域，眾所周知：經(jīng)典計算機的本質(zhì)是一個通用圖靈機，是不可逆的，但所有不可逆通用圖靈機都對應(yīng)一個可逆圖靈機，且兩者的計算能力和計算效率完全相同，C.Bennett對此有嚴格證明。由于量子門與酉算子對應(yīng)，量子邏輯門是可逆的，因此可以用可逆邏輯的設(shè)計方法綜合量子邏輯電路。由于量子可逆邏輯門電路理論上不丟失信息，因此不存在熱耗散，從而在理論上可以有效地解決集成芯片的能耗與發(fā)熱的問題。C.Bennett證明：只要是可逆門構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)，能量零損耗是可能的。量子可逆邏輯綜合技術(shù)已逐步廣泛地應(yīng)用于量子計算、低功耗CMOS電路、納米技術(shù)、光計算、加密技術(shù)等一些科技領(lǐng)域，隨著科學(xué)技術(shù)與電子工業(yè)工藝的進步，量子可逆邏輯的研究將會逐步進入更多學(xué)科的研究領(lǐng)域，將會變得越來越活躍、越來越重要。

隨著量子可逆邏輯研究的深入，會涉及一些量子計算和量子信息處理的新思維和新方法，也會對計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起到促進的作用。量子邏輯門的代數(shù)抽象為可逆算子，最近30年來，研究者們提出了多種可逆量子門，除單個量子邏輯非門外，還有若干多量子可逆門，例如控制非門、Toffoli門、Fredkin門以及Peres門等。若干量子可逆門的級聯(lián)與綜合可構(gòu)成基本量子電路，量子電路是構(gòu)建量子設(shè)備與量子計算機的基本元素，因此研制性能優(yōu)良的量子邏輯門、量子可逆邏輯電路既可解決芯片能耗導(dǎo)致發(fā)熱的問題，又可提高芯片的集成度與運行速度。量子可逆邏輯電路的設(shè)計與綜合的方法與規(guī)則也是構(gòu)建未來低功耗電路科技的基礎(chǔ)。不僅如此，研究量子可逆邏輯的綜合理論、量子可逆邏輯電路的自動生成技術(shù)、量子可逆邏輯電路的錯誤檢測與定位技術(shù)，也有助于基于量子計算問題解決方案的算法的量子線路描述與算法正確性驗證的研究。雖然量子可逆邏輯綜合的研究工作如此有意義，但作為大學(xué)本科生或研究生的科普讀物，本書只是重點講述一些基本內(nèi)容，例如，如何根據(jù)給定的量子門完成可逆邏輯函數(shù)對應(yīng)的可逆邏輯電路的代數(shù)計算，進一步，如何根據(jù)要求設(shè)計問題求解的算法，完成自動生成門陣列最短、量子代價最小的量子可逆電路的程序設(shè)計。

本書共六章內(nèi)容：

第一章主要介紹量子信息與量子計算的基本知識，以為什么要研究量子可逆邏輯電路為引子，講解量子可逆邏輯電路從設(shè)計問題的數(shù)學(xué)建模到算法設(shè)計的基本過程。

第二章介紹量子可逆邏輯電路設(shè)計中兩個關(guān)鍵的代數(shù)定義以及可逆邏輯門的定義及其運算規(guī)則。

第三章介紹基于真值表數(shù)學(xué)建模的可逆邏輯電路綜合方法，漢明距離求解方法和兩個基于真值表的量子邏輯電路綜合算法：二分法與圖解法，以及案例的代數(shù)求解。

第四章介紹基于代數(shù)建模的可逆邏輯電路綜合方法，以及一個完整可再實現(xiàn)的基于RM代數(shù)建模的量子可逆邏輯門電路綜合算法與程序?qū)崿F(xiàn)。

第五章介紹基于置換群建模的可逆邏輯電路綜合方法，基于28個對換元素組成的3量子可逆邏輯電路的快速綜合方法，以及一個完整可再實現(xiàn)的基于Hash表的量子邏輯電路綜合算法與程序?qū)崿F(xiàn)，同時給出3量子40320個使用NCT門的全部量子可逆邏輯門電路的代數(shù)計算結(jié)果。

第六章介紹4量子比特可逆邏輯電路綜合方法，并給出一個完整可再實現(xiàn)的基于Hash表及其多種優(yōu)化元素的4量子邏輯電路綜合的算法與程序?qū)崿F(xiàn)。最后給出我們的算法關(guān)于4量子置換（15，2，3，12，5，9，1，11，0，10，14，6，4，8，7，13）的計算結(jié)果：電路A是Maslov的結(jié)果，B是我們的計算結(jié)果，兩個可逆邏輯電路完成相同的信號變換。

本書各章節(jié)的主要內(nèi)容和案例均選自東南大學(xué)計算機學(xué)院量子計算與量子信息研究室研究生早期發(fā)表在《計算機學(xué)報》《軟件學(xué)報》《計算機研究與發(fā)展》《電子學(xué)報》《通信學(xué)報》以及《東南大學(xué)學(xué)報》上的研究論文。特別是第四章的4.3節(jié)和第五章的5.3節(jié)，以及第六章相關(guān)部分的核心內(nèi)容是取自于李志強博士的相關(guān)論文及其博士學(xué)位論文的有關(guān)章節(jié)，通過圍繞主線編撰后完成。全書由陳漢武執(zhí)筆撰寫。由于撰寫本書的目的在于對學(xué)生的新科學(xué)的教育啟蒙和興趣培養(yǎng)，期待通過一個現(xiàn)實的物理問題的數(shù)學(xué)建模演繹出不同的求解方法，通過不同的解決方案讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)作為工具在問題解決過程中的作用，同時理解問題解決方案中數(shù)學(xué)建模的意義和內(nèi)涵，通過舉一反三培養(yǎng)學(xué)生的計算思維與數(shù)學(xué)建模的意識和能力。期待更多愿意動手的學(xué)生通過學(xué)習(xí)和討論，結(jié)合程序設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的教學(xué)，能夠完成相關(guān)算法的程序?qū)崿F(xiàn)。

陳漢武2017年3月13日

第一章為什么要研究量子可逆邏輯電路？1

1.1集成電路產(chǎn)業(yè)大事記、摩爾定律與芯片集成度及其可預(yù)見的

發(fā)展極限1

1.2不可逆邏輯門、不可逆電路與計算機硬件的能耗與降溫3

1.3理論上量子可逆門電路可以解決以上兩個瓶頸問題4

1.4可逆邏輯門、可逆邏輯門集合的稠密子集5

1.5量子比特與張量乘積6

1.6量子態(tài)的疊加與并行計算11

1.7量子態(tài)疊加與量子態(tài)糾纏物理現(xiàn)象的代數(shù)表達式13

1.8量子可逆邏輯電路的基本概念、發(fā)展簡史與問題解決的基本方法15

1.9物理模型，數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)的任務(wù)16

第二章量子可逆邏輯電路代數(shù)演算中的基本定義20

2.1可逆函數(shù)、可逆邏輯門與可逆邏輯門電路的基本定義20

2.2量子邏輯門及其演算21

第三章真值表方法24

3.1邏輯函數(shù)與真值表及其運算規(guī)則24

3.2用真值表求解可逆邏輯門電路的漢明距離方法28

3.3基于真值表的二分法可逆邏輯電路綜合算法31

3.31相關(guān)概念與約定32

3.32以3量子為例解說二分電路綜合算法33

3.33算法分析36

3.34優(yōu)化36

3.35實驗計算結(jié)果37

3.4基于真值表的圖表示法可逆邏輯電路綜合算法39

3.41相關(guān)概念與約定40

3.42算法描述43

3.43優(yōu)化48

3.44實驗計算結(jié)果和分析51

35基于真值表的圖表示法可逆邏輯電路綜合算法的4量子可逆

函數(shù)綜合舉例53

第四章代數(shù)方法59

4.1邏輯代數(shù)與邏輯電路59

4.2基于RM方法求解邏輯函數(shù)的可逆邏輯電路60

4.3用RM方法求解可逆邏輯門電路例題63

44一個基于RM方法的量子可逆邏輯電路綜合的算法67

4.41三個基本定義69

4.42三個優(yōu)化規(guī)則71

4.43基于RM的量子可逆邏輯門電路綜合方法73

4.44基于RM的量子可逆邏輯電路綜合的快速算法78

4.45算法結(jié)果與分析83

第五章置換群方法88

5.1用置換群建模的相關(guān)基礎(chǔ)知識88

5.11映射函數(shù)f(x)的置換表示88

5.12置換里的映射和置換群上的乘積運算89

5.13置換中的換位運算與一個置換的換位表達91

5.23量子比特的換位元素組與量子可逆邏輯電路的綜合方法93

53基于Hash表的量子邏輯電路綜合算法98

5.31基本概念（Fredkin門和Peres門的定義）99

5.32基于最小完備Hash函數(shù)的量子可逆邏輯電路綜合算法102

5.33基于位運算的Hash函數(shù)量子可逆邏輯電路綜合算法112

5.34實驗結(jié)果與分析119

第六章4量子可逆邏輯電路綜合算法122

6.1基本概念123

6.2量子可逆邏輯電路綜合的新算法132

6.21最小長度整體綜合算法133

6.22量子電路序列生成算法135

6.3實驗結(jié)果與分析137

附錄A138

附錄B模板及其模板優(yōu)化技術(shù)147

附錄CHash表的邏輯結(jié)構(gòu)與物理構(gòu)造155

綜合練習(xí)156

量子可逆邏輯電路綜合論文列表1598,