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前言
線性代數是一門以行列式和矩陣為工具、以初等變換為主要變換方法、以線性方程組為落腳點的課程。但初學者不僅對線性代數中的概念不知道其產生背景，而且容易混淆一些概念，尤其是對于所給出的一些結論到底有何用處感到迷惑，該書的編寫目的在于幫助廣大讀者解開線性代數學習中的困惑。
該書不是簡單地總結歸納每章的重點及一些解題方法，而是有其獨特之處：（1） 給出了各章知識的產生背景與應用，使我們不再覺得所學知識是憑空產生的;（2） 該書的編寫教師根據自己多年線性代數教學實踐，總結出在線性代數學習中容易出錯的地方，并分析其出錯原因;（3） 在一些關鍵之處給出了“特別提醒”，使讀者可以抓住問題的本質;（4） 對于一些重要定理和性質，給出了應用指導，幫助讀者了解這些定理可用在何處;（5） 給出了部分考研題及解答。
因此，該書可以幫助讀者解答學習中的疑惑，理清條理，把握核心，突破難點，提高自主學習的興趣和效率，使線性代數的學習變得輕松而有趣，從而達到事半功倍之效。本書不僅可以為廣大學生學習線性代數提供指導,而且對于高等代數的學習也有幫助，也可作為廣大教師的教學參考用書，還能幫助準備考研的同學再上一個臺階。

編者
2015.4

目錄
第一章行列式1
一、 知識背景及應用1
§11知識背景1
§12應用1
§121行列式在求解線性方程組中的應用1
§12.2行列式在求逆矩陣中的應用（見第二章）2
§123行列式在多項式理論中的應用2
§124行列式在高等數學中的應用2
§125行列式在幾何中的應用3
二、 知識框架5
§21排列的逆序數5
§22排列的性質5
§23行列式5
§231幾種特殊的行列式6
§232代數余子式7
§233行列式的性質7
§234重要結論9
三、 解題方法總結12
§31行列式的計算12
§32已知一個行列式的值，計算另一個行列式18
§33討論齊次線性方程組有非零解的問題18
§34解特殊線性方程組19
四、 容易混淆的問題及常見錯誤21
§41對行列式的項的構成和符號確定方面21
§42計算行列式中某字母的系數21
五、 考研題選編23
第二章矩陣27
一、 知識背景及應用27
§11知識背景27
§12知識應用27
§121在幾何中的應用27
§122在線性方程組中的應用28
§123在日常生活中的應用29
二、 知識框架31
§21矩陣及相等31
§22運算32
§23方陣的行列式33
§231轉置矩陣34
§232對稱矩陣和反對稱矩陣34
§233伴隨矩陣34
§24逆矩陣35
§25分塊矩陣36
§26矩陣的特殊分塊及計算36
§261分塊上（下）三角矩陣36
§262分塊對角矩陣37
§27初等變換與初等矩陣38
§271初等變換38
§272初等矩陣39
§273可逆矩陣與初等變換39
§274矩陣的等價39
三、 解題方法總結42
§31逆矩陣求法42
§32判斷矩陣等價43
§33矩陣可交換的判別方法44
§34證明矩陣可逆44
§35求解矩陣方程45
四、 容易混淆的問題及常見錯誤47
§41關于矩陣乘法的次序47
§42忽略矩陣的乘法不滿足消去律47
§43計算數乘矩陣的行列式|kA|時出錯47
§44使用矩陣的乘法對加法的分配律時出錯48
§45忽略行列式必須行數等于列數48
§46求伴隨矩陣產生的錯誤48
§47解矩陣方程時忽略乘積次序48
五、 考研題選編51
第三章向量組與矩陣的秩54
一、 知識背景及應用54
§11知識背景54
§12應用55
§121在幾何方面55
§122在代數方面56
二、 知識框架58
§21向量的線性相關性58
§22向量的極大無關組與秩58
§23線性表示59
§24矩陣的行階梯形59
§25秩60
三、 解題方法總結63
§31判斷一組向量的線性相關性63
§32證明一組向量線性無關64
§33判斷一個向量能否用其他向量表示64
§34求向量組的極大無關組65
§35求矩陣的秩66
§36求給定向量在一組基下的坐標66
§37證明兩個向量組等價67
§38已知A，A*，A-1中兩個，求另一個67
四、 容易混淆的問題及常見錯誤69
§41對矩陣的階梯形認識錯誤69
§411在線性相關性概念及性質方面69
§412對矩陣秩的概念理解錯誤70
五、 考研題選編72
第四章線性方程組75
一、 知識背景及應用75
§11知識背景75
§12知識應用75
§121在向量線性關系中的應用75
§122在求特征向量中的應用76
§123在求矩陣的逆矩陣中的應用76
二、 知識框架78
§21線性方程組及解78
§22齊次線性方程組80
§23齊次線性方程組解的性質80
§24重要定理81
三、 解題方法總結85
§31求解線性方程組85
§3.2討論待定系數取何值時齊次方程組有非零解87
§3.3討論待定系數取何值時非齊次方程組的解88
§3.4證明α1,α2,…,αs為Am×nX=0的一個基礎解系88
四、 容易混淆的問題及常見錯誤91
§41對于非齊次線性方程組的結構91
§411解線性方程組時使用的初等變換91
§412在方程組有解的判斷方面92
§413解方程組時選錯自由未知量92
五、 考研習題選編95
第五章特征值與二次型100
一、 知識背景及應用100
§11知識背景100
§12在幾何方面的應用101
二、 知識框架103
§21向量的內積103
§22向量的正交性103
§23正交矩陣104
§24方陣的特征值和特征向量105
§25相似矩陣106
§251矩陣的對角化107
§252實對稱矩陣108
§26化二次型為標準型108
§261二次型及其矩陣表示108
§262規(guī)范型109
§27正定二次型110
三、 解題方法總結113
§31特征值與特征向量的求法113
§32判定矩陣A與B相似的方法113
§33將矩陣對角化的方法113
§34由特征值和特征向量反求矩陣A：A=PΛP-1115
§35方陣的冪Ak的計算115
§36實對稱矩陣正交相似對角化的方法115
§37化二次型為標準型的方法116
四、 容易混淆的問題及常見錯誤121
§41混淆正交矩陣與正定矩陣的性質121
§42判斷矩陣對角化方面121
§43化二次型為標準型方面121
§44正定二次型的判斷方面122
§45判斷矩陣的合同方面122
§46混淆相似與合同的性質123
五、 考研題選編125