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內(nèi)容提要

本書在n維歐氏空間中建立Lebesgue測(cè)度和積分的理論，突出體現(xiàn)實(shí)變函數(shù)的基本思想。全書包括：集合、點(diǎn)集、Lebesgue測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、Lebesgue積分、微分與不定積分、Lp空間共七章。每一小節(jié)講述概念、定理與例題后，均附有精心挑選的配套基本習(xí)題，每一章后均附有整整一節(jié)的例題選講，介紹實(shí)變函數(shù)解題的各種典型方法與重要技巧，每一章后還列出大量的習(xí)題供讀者去研究與探索。本書可作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的教材，也可供相關(guān)專業(yè)人員參考。

目錄
1集合1
11集合及其運(yùn)算1
12映射3
13對(duì)等與基數(shù)5
14可數(shù)集8
15連續(xù)基數(shù)10
16例題選講12
習(xí)題一18

2點(diǎn)集20
21n維歐氏空間20
22開集與內(nèi)點(diǎn)21
23閉集與極限點(diǎn)24
24閉集套定理與覆蓋定理27
25函數(shù)連續(xù)性29
26點(diǎn)集間的距離31
27Cantor集34
28稠密性35
29例題選講37
習(xí)題二42

3Lebesgue測(cè)度45
31廣義實(shí)數(shù)集45
32外測(cè)度45
33可測(cè)集47
34可測(cè)集類51
35不可測(cè)集54
36例題選講55
習(xí)題三60

4可測(cè)函數(shù)63
41可測(cè)函數(shù)的定義及性質(zhì)63
42Egoroff(葉果洛夫)定理68
43依測(cè)度收斂性69
44Lusin(魯津)定理72
45例題選講74
習(xí)題四79

5Lebesgue積分81
51非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分81
52非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分82
53一般可測(cè)函數(shù)的積分87
54控制收斂定理89
55可積函數(shù)與連續(xù)函數(shù)92
56Lebesgue積分與Riemann積分92
57重積分與累次積分96
58例題選講100
習(xí)題五110

6微分與不定積分114
61單調(diào)函數(shù)的可微性115
62有界變差函數(shù)120
63不定積分的微分123
64絕對(duì)連續(xù)函數(shù)126
65例題選講129
習(xí)題六136

7Lp空間138
71Lp空間的定義與有關(guān)不等式138
72Lp空間(1≤p≤∞)的完備性142
73Lp空間(1≤p<∞)的可分性147
74例題選講149
習(xí)題七155